LEONTIEF: es un modelo económico desarrollado por Wassily Leontief (1905-1999) por el que obtuvo un Premio Nobel en el año 1973. A menudo es denominado como modelo de Leontief. El propósito fundamental del modelo IO es analizar la interdependencia de industrias en una economía. El modelo viene a mostrar como las salidas de una industria (outputs) son las entradas de otra (inputs), mostrando una interrelación entre ellas. En la actualidad es uno de los modelos económicos más empleados en economía.
Leontief; San Petersburgo, 1906 - Nueva York, 1999) Economista estadounidense que destacó por sus estudios teóricos y desarrolló la metodología impute-output de análisis económico, por la que se le concedió el premio Nobel de Economía en 1973.
Wassily W. Leontief
En la Universidad de San Petersburgo en la que su padre era profesor de economía, estudió filosofía, sociología y economía, carreras que le darían una sólida formación intelectual. Leontief, que había vivido intensamente los comienzos de la Revolución rusa, se trasladó a Alemania y se doctoró en la Universidad de Berlín en 1928. Un año antes, dando muestras de su interés por el funcionamiento de los sistemas económicos supranacionales, había ingresado en el Instituto de Economía Mundial de la Universidad de Kiel.
Después de su experiencia como asesor en la organización de la red ferroviaria china, el prestigioso economista viajó a Nueva York y entró a formar parte del cuerpo de profesores de la Universidad de Harvard, donde fundó en 1939 el Economic Research Proyect. Dos años más tarde, Leontief dio a conocer La estructura de la economía norteamericana, 1919-1939, obra esencial que estudia la interrelación entre los diversos sectores económicos y que procura superar la abstracción en la que se mantenía la teoría de Walras y otras semejantes a través de sus famosas tablas input-output.
Wassily Leontief fue uno de los primeros en utilizar las computadoras en la programación entre los sectores productivos. Al recibir el premio Nobel de Ciencias Económicas en 1973, resumió su método afirmando que "la economía mundial, como la de un país, puede visualizarse como un sistema de procesos independientes. Cada proceso, ya sea la manufactura del acero, la educación de la juventud o la gestión de la economía familiar, genera ciertos outputs (productos) y absorbe una combinación específica de inputs. La interdependencia directa entre dos procesos se manifiesta cuando el output de una es el impute de la otra: el carbón es el output de una industria minera y el impute del sector de producción de energía eléctrica. La industria química usa el carbón directamente, como materia prima, pero también indirectamente como electricidad. Una red de relaciones de este tipo constituye un sistema de elementos que dependen unos de otros, directa o indirectamente".
9.4 DETERMINANTES : A cada matriz cuadrada se le puede asociar un número real denominado su determinante.
El determinante se denota encerrando la matriz entre barras verticales. Por ejemplo, si A es una matriz 2 2 dada por
A [2 3] entonces, su determinante se denota por [2 3]
[4 5] [4 5]
abreviar, por El determinante de una matriz n n se dice que es un determinante de orden n. Se usa el símbolo (delta) para denotar un determinante.
Empezaremos definiendo determinantes de orden 2, estudiando determinantes
del orden superior después.
DEFINICIÓN Un determinante de orden 2 está definido por la siguiente expresión: a1b2-a2b1
En otras palabras, el determinante está dado por el producto de a1 y b2 sobre
la diagonal principal, menos el producto de los elementos a2 y b1 sobre la otra diagonal.
Podemos indicar estas dos diagonales usando flechas
EJ:
Una aplicación importante de los determinantes es a la solución de sistemas
de ecuaciones lineales, en las cuales el número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas. De hecho, el concepto de determinante se originó en el estudio de tales
sistemas de ecuaciones. El resultado principal, conocido como regla de Cramer, se
establece en el teorema 2 para sistemas de tres ecuaciones. El teorema se generaliza
en una forma natural a sistemas de n ecuaciones con n incógnitas.
CRAMER: Debe señalarse que la regla de Cramer por lo regular no es el método más eficiente
de resolver un sistema de ecuaciones. Casi siempre, el método de reducción
de renglones.
EJERCICIO 31 9.4
EJERCICIO 41
INVERSAS POR DETERMINANTES
En la sección 9-1 encontramos, mediante operaciones entre renglones la inversa de
una matriz no singular. También es posible calcular inversas usando determinantes
y, de hecho, en el caso de matrices pequeñas 2 o 3 este método es más
conveniente que la utilización de operaciones entre renglones.
DEFINICIÓN Sea A una matriz de cualquier tamaño. La matriz obtenida intercambiando
los renglones y las columnas de A se denomina la transpuesta de A
y se denota por AT. El primero, segundo, tercer renglones de A se convierten en la
primera, segunda, tercera,..., columnas .
EJ:
